Theorem CS-3. Support (3) for the CS conjecture.

{CS, xy^{3} = y^{3}x} ⇒ {(xy)^{9} = x^{9}y^{9}}.

The analogous statement for group theory was first proved by Narain Gupta in 1969 [?]. In fact, we prove this for ordinary semigroups, without cancellation. (Note the nonstandard representation, and see the comments after the proof.)

Proof (found by Otter 3.0.4 on gyro at 203.10 seconds).

2 (x · y) · z = x · y · z 3 x · y · y · y = y · y · y · x 4 p(A · B · A · B · A · B · A · B · A · B · A · B · A · B · A · B · A · B) 5 −p(A · A · A · A · A · A · A · A · A · B · B · B · B · B · B · B · B · B) 6 (x · y) · z = x · y · z

8  x · y · z · y · z · y · z = y · z · y · z · y · z · x  [2 → 3 :6,6,6,6,6,6,6]
9  x · y · z · z · z = z · z · z · x · y  [2 → 3]
12  x · x · x · y · z = y · x · x · x · z  [3 → 2 :6,6,6,6,6]
15  x · x · x · y = y · x · x · x  [3 → 2 :6]
16  x · y · y · y · z = y · y · y · x · z  [3 → 2 :6,6,6,6,6]

20 x · y · z · u · y · z · u · y · z · u = y · z · u · y · z · u · y · z · u · x

[2 → 8 :6,6,6,6,6,6]

22 x · y · z · u · z · u · z · u = z · u · z · u · z · u · x · y [2 → 8]

40 p(A · B · A · B · A · B · A · B · A · B · A · B · B · A · B · A · B · A)

[8 → 4]

42 x · y · x · y · x · y · z = z · x · y · x · y · x · y [8 → 2 :6]

65 p(A · B · A · B · A · B · B · A · B · A · B · A · B · A · B · A · B · A)

[8 → 40 :6,6,6,6,6,6]

69 p(A · B · A · B · A · B · B · A · B · A · B · B · A · B · A · B · A · A)

[8 → 65]

92 p(B · A · B · A · B · B · A · B · A · B · A · A · A · B · A · B · A · B)

[8 → 69 :6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,6]

98 x · x · x · y · z · u · u · u = u · x · x · x · u · u · y · z [9 → 12]

144 p(B · A · B · A · B · B · A · B · A · A · A · A · B · B · A · B · A · B)

[12 → 92]

174 p(B · A · B · A · B · B · A · A · A · A · B · A · B · B · A · B · A · B)

[12 → 144]

176 p(B · A · B · A · B · A · A · A · B · A · B · A · B · B · A · B · A · B)

[12 → 174]

180 p(A · A · B · A · B · A · B · B · A · B · A · B · B · A · B · A · B · A)

[8 → 176 :6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,6]

272 p(A · A · B · A · B · A · B · B · A · B · B · A · B · A · B · A · A · B)

[22 → 180]

296 p(A · A · B · A · A · B · A · A · B · B · A · B · B · A · B · B · A · B)

[20 → 272 :6,6,6,6]

351 p(A · A · B · A · A · B · A · A · B · B · B · A · B · B · A · B · B · A)

[20 → 296]

390 p(A · A · B · A · A · B · A · A · A · B · B · B · B · B · A · B · B · A)

[16 → 351]

449 p(A · A · B · A · A · B · B · B · B · B · B · A · B · B · A · A · A · A)

[15 → 390 :6,6,6,6,6,6,6,6]

687 p(A · A · B · A · A · A · B · B · A · A · A · A · B · B · B · B · B · B)

[42 → 449 :6,6,6,6,6,6]

2438 p(A · A · A · A · A · A · A · A · A · B · B · B · B · B · B · B · B · B)

[98 → 687 :6,6,6,6,6,6,6,6]

2439 □  [2438,5]